翻譯

　　魏尚書郎楊偉上表說：“我閱覽古籍，考察決斷歷數(shù)的作用，季節(jié)用來綜理農(nóng)事，月份用來綜理人事，它們的由來已久了。少昊時(shí)，依據(jù)燕子歸來之類的物候判斷分至；顓頊、帝學(xué)時(shí)，重黎掌管天；唐帝、虞舜時(shí)，羲和掌管日，三代時(shí)沿襲了這種傳統(tǒng)，每個(gè)朝代都有日官。曰官掌管歷法，把它頒布給諸侯，諸侯得到以后，再在境內(nèi)頒布。夏后時(shí)，羲和沉迷于酒中，使得歷法紊亂，《書》把這件事寫在《胤征》裹面。由此看來，明悉農(nóng)時(shí)，重視人事，歷代都是這樣。一直到周室衰落，戰(zhàn)國紛起，告朔用的羊，廢棄而不繼承，登臺祭祀天地的禮儀，滅絕而不遵守，閏月設(shè)置乖錯(cuò)而不知道，正月安排與時(shí)令不符而不悟，大火星猶在西，卻以蟄蟲不隱藏為怪。當(dāng)時(shí)，天子不協(xié)調(diào)時(shí)令，掌管歷法的官員不寫明日辰的吉兇禁忌，諸侯不盡職，日官連朔日也不推算，人事不恤，廢棄農(nóng)時(shí)。仲尼在《春秋》這部書裹進(jìn)行撥亂反正，依托褒貶來糾正錯(cuò)誤，掌管歷法的官員設(shè)置閏月不當(dāng)，則在書中記錄以譏諷之，登臺頒布朔，則說他有禮。從此以后，一直到秦、漢，仍然以孟冬作為一年的開始，閏月為后九月，中氣節(jié)氣錯(cuò)亂，季節(jié)、月份錯(cuò)誤，修正值落后于實(shí)際天象，日食不在朔時(shí)發(fā)生，多年沿襲，很久都沒有改變。到武帝元封七年，才意識到上述錯(cuò)誤，于是更改正月所在，改變歷法的基本數(shù)據(jù)，命令有大才的博學(xué)之人，造《太初歷》，考校中氣、朔時(shí)的誤差，以改正閏分；觀測中星得到相應(yīng)的度數(shù)，以考察歷法的疏密。以建寅之月作為正月，以黃鐘之月作為歷法的開始。這部歷法的斗分太大，后來誤差逐漸增大。到丞和二年，再次行用《四分歷》，一直使用到現(xiàn)在，考察日食，經(jīng)常發(fā)生在晦日，這是斗分太多的緣故，所以先精密后來粗疏，現(xiàn)在已不可用。我先前利用制典的空余時(shí)間，推算考察天體的運(yùn)行，考核以前的典籍，以日食和朔驗(yàn)證，詳細(xì)精密，建立了更為精密的歷法，推算不先不后，與古今天象相符。以前在唐帝時(shí)，協(xié)調(diào)時(shí)日，誠信地治理百姓，各種事業(yè)都很興旺。想要使當(dāng)今國家的典禮和各種制度都符合往古，非常完備充足，于是更改正月所在，改變歷法的基本數(shù)據(jù)，以大呂之月作為一年的開始，以建子之月作為歷法初始月。我認(rèn)為在顓頊時(shí)代，歷法稱為《顓頊》，在軒轅時(shí)代，歷法稱為《黃帝》，到漢孝遠(yuǎn)帝改革正朔，變更歷法，改元叫作太初，因而其歷法命名為《太初歷》。現(xiàn)在改元為景初，應(yīng)該把歷法叫作《景初歷》。我所制定的《景初歷》，方法數(shù)據(jù)簡明扼要，施用則接近精密，研究它則節(jié)省功效，學(xué)習(xí)它則容易明白。即使再讓塹垂心算，鎣直運(yùn)籌，重墼掌管日晷，盞勉考察日影、天象，推算驗(yàn)證日月的運(yùn)行，窮究其精妙幽微之處，達(dá)到術(shù)敷的極限，也不可能像我的歷法一樣精妙。所以歷代的歷法都粗疏而不精密，自黃帝以來，不停地改變。”

　　壬辰元以來，至景初元年丁巳，積四千零四十六年，算上。

　　這個(gè)歷元以天正建子黃鐘之月為歷法的初始，每元的第一年，甲子朔日半夜零點(diǎn)冬至。

　　元法：一萬一千零五十八。

　　紀(jì)法：一千八百四十三。

　　紀(jì)月：二萬二千七百九十五。

　　章歲：十九。

　　章月：二百三十五。

　　章閏：七。

　　通數(shù)：十三萬四千六百三十。

　　日法：四千五百五十九。

　　余數(shù)：九千六百七十。

　　周天：六十七萬三千一百五十。

　　紀(jì)歲中：十二。

　　氣法：十二。

　　沒分：六萬七千三百一十五。

　　沒法：九百六十七。

　　月周：二萬四千六百三十八。

　　通法：四十七。

　　會通：七十九萬零一百一十。

　　朔望合數(shù)：六萬七千三百一十五。

　　入交限數(shù)：七十二萬二千七百九十五。

　　通周：十二萬五千六百二十一。

　　周日日余：二千五百二十八。

　　周虛：二千零三十一。

　　斗分：四百五十五。

　　甲子紀(jì)第一

　　紀(jì)的開始合朔，月亮在黃道南。

　　交會差率，四十一萬二千九百一十九。

　　遲疾差率，十萬三千九百四十七。

　　甲戌紀(jì)第二

　　紀(jì)的開始合朔，月亮在黃道南。

　　交會差率，五十一萬六干五百二十九。

　　遲疾差率，七萬三千七百六十七。

　　甲申紀(jì)第三

　　紀(jì)的開始合朔，月亮在黃道南。

　　交會差率，六十二萬零一百三十九。

　　遲疾差率，四萬三千五百八十七。

　　甲午紀(jì)第四

　　紀(jì)的開始合朔，月亮在黃道南。

　　交會差率，七十二萬三千七百四十九。

　　遲疾差率，一萬三千四百零七。

　　甲辰紀(jì)第五

　　紀(jì)的開始合朔，月亮在黃道南。

　　交會差率，三萬七千二百四十九。

　　遲疾差率，十萬八千八百四十八。

　　甲寅紀(jì)第六

　　紀(jì)的開始合朔，月亮在黃道南。

　　交會差率，十四萬零八百五十九。

　　遲疾差率，七萬八千六百六十八。

　　交會紀(jì)差為十萬三千六百一十。這個(gè)數(shù)據(jù)的計(jì)算方法是，用一紀(jì)的積月二萬二千七百九十五，乘以通數(shù)十三萬四千六百三十，連續(xù)減去會通七十九萬零一百一十，所得小于會通之?dāng)?shù)即為交會紀(jì)差。以交會紀(jì)差加上前紀(jì)的交會差率，所得為后紀(jì)的交會差率。加上交會紀(jì)差后所得交會差率如果仍小于會通，則紀(jì)首這一年天正合朔時(shí)月亮在黃道南；如果大于會通，減之，月亮在黃道北。一直累加至大于等于會通，則月亮在黃道南；再一直累加至大于等于會通，則月亮在黃道北。

　　遲疾紀(jì)差三萵零一百八十。逭個(gè)數(shù)據(jù)的計(jì)算方法是，用一紀(jì)的積月二萬二千七百九十五，乘以通數(shù)十三萬四千六百三十，連續(xù)減去通周十二萬五千六百二十一，余下小于通周部分九萬五千四百四十一，用通周減之，所得為遲疾紀(jì)差。以上一紀(jì)的遲疾差率減去遲疾紀(jì)差，得到后一紀(jì)的遲疾差率。如果不足減，則加上通周后再減之。

　　求次元的紀(jì)差率：用前元甲寅紀(jì)的差率減去紀(jì)差，所得為次元甲子紀(jì)差率。求次紀(jì)差率，與前面的方法一樣。

　　推朔積月方法：

　　以上元壬辰至所求年的積年，減去一，除以紀(jì)法一千八百四十三，所得商數(shù)算外，得到入紀(jì)敷，余數(shù)為入紀(jì)年數(shù)。以章月二百三十五乘以入紀(jì)年數(shù)，再除以章歲十九，所得商敷為積月，余數(shù)為閏余。閏余在十二以上，當(dāng)年有閏月。閏月的確定以無中氣之月為準(zhǔn)。

　　推朔的方法：

　　以通敷十三萬四千六百三十乘以積月，為朔積分。除以日法四千五百五十九，所得商敷為積曰，余數(shù)為小余。積日連續(xù)減去六十，余下不滿六十的部分為大余。大余以所在紀(jì)干支起算，算外，為所求年天正十一月朔日。

　　求次月朔日：在上月基礎(chǔ)上加大余二十九，小余二千四百一十九，如果加后小余滿日法四千五百五十九，則化入大余，起算命名的方法輿前面一樣，所得為次月朔日。小余在二千一百四十以上，則當(dāng)月大。

　　推弦望日：

　　在朔日基礎(chǔ)上加大余七，小余一千七百四十四，小分一，小分滿二則化入小余，小余滿日法四千五百五十九則化入大余，大余滿六十則減之，余下不滿六十的部分從所在紀(jì)干支起算，算外，即上弦日。用同樣的方法連加，依次可得望、下弦、后月朔日。如果望時(shí)有月食，且定小余在中節(jié)者則輿之最近的中氣或節(jié)氣的間限、限數(shù)以下，則算上以確定其所在日。望在中氣或節(jié)氣前后四天以內(nèi)，看限數(shù)而定，望在中氣或節(jié)氣前后五天以上，看間限而定。

　　推二十四中氣、節(jié)氣的方法：

　　以入紀(jì)年減去一，乘以余數(shù)九千六百七十，除以紀(jì)法一千八百四十三，所得商數(shù)為大余，余數(shù)為小余。大余滿六十則減之，余下不滿六十部分從所在紀(jì)干支起算，算外，即得天正十一月冬至日。

　　求次氣：在上一氣的基礎(chǔ)上加大余十五，小余四百零二，小分十一，如果小分滿氣法十二則化入小余，小余滿紀(jì)法則化入大余，起算命名的方法與前面一樣，所得為次氣日。

　　推閏月的方法：

　　以章歲十九減去閏余，乘以歲中十二，乘積滿章閏七得一月；剩下不滿章閏部分如果在三點(diǎn)五以上，也得一月。這樣所得的月敷從天正十一月起算，算外，得到閏月。如果閏月設(shè)置有出入，以有無中氣作為判據(jù)。

　　大雪十一月節(jié)　　限數(shù)千二百四十二　　間限千二百四十八

　　冬至十一月中　　限數(shù)千二百五十四　　間限千二百四十五

　　小寒十二月節(jié)　　限數(shù)千二百三十五　　間限千二百二十四

　　大寒十二月中　　限數(shù)千二百一十三　　間限千一百九十二

　　立春正月節(jié)　　　限數(shù)千一百七十二　　間限千一百四十七

　　雨水正月中　　　限數(shù)千一百二十二　　間限千九十三

　　驚蟄二月節(jié)　　　限數(shù)千六十五　　　　間限千三十六

　　春分二月中　　　限數(shù)千八　　　　　　間限九百七十九

　　清明三月節(jié)　　　限數(shù)九百五十一　　　間限九百二十五

　　谷雨三月中　　　限數(shù)九百　　　　　　間限八百七十九

　　立夏四月節(jié)　　　限數(shù)八百五十七　　　間限八百四十

　　小滿四月中　　　限數(shù)八百二十三　　　間限八百一十二

　　芒種五月節(jié)　　　限數(shù)八百　　　　　　間限七百九十九

　　夏至五月中　　　限數(shù)七百九十八　　　間限八百一

　　小暑六月節(jié)　　　限數(shù)八百五　　　　　間限八百一十五

　　大暑六月中　　　限數(shù)八百二十五　　　間限八百四十二

　　立秋七月節(jié)　　　限數(shù)八百五十九　　　間限八百八十三

　　處暑七月中　　　限數(shù)九百七　　　　　間限九百三十五

　　白露八月節(jié)　　　限數(shù)九百六十二　　　間限九百九十二

　　秋分八月中　　　限數(shù)千二十一　　　　間限千五十一

　　寒露九月節(jié)　　　限數(shù)千八十　　　　　間即千一百七

　　霜降九月中　　　限數(shù)千一百三十三　　間限千一百五十七

　　立冬十月節(jié)　　　限數(shù)千一百八十一　　間限千一百九十八

　　小雪十月中　　　限數(shù)千二百一十五　　間限千二百二十九 

　　推沒、減的方法：

　　沿用冬至積日，如果有小余，再加一，乘以沒分六萬七千三百一十五，除以沒法九百六十七，所得商敷為大余，余數(shù)為小余。大余滿六十則減之，余下不滿六十部分從所在紀(jì)干支起算，算外，即得去年冬至后沒日。

　　求次沒：加大余六十九，小余五百九十二，小余滿沒法九百六十七得一，加入大余，起算命名的方法如前。小余盡，為滅。

　　推五行用事日：

　　立春、立夏、立秋、立冬曰，即木、火、金、水開始用事日。在上述四個(gè)節(jié)氣的基礎(chǔ)上各減去大余十八，小余四百八十三，小分六，余下的從所在紀(jì)干支起算，算外，即得土用事日。大余不足減，加六十；小余不足減，大余減一，加紀(jì)法一千八百四十三；小分不足減，小余減一，加氣法十二。

　　推卦用事日：

　　沿用冬至大余，小余乘以六，以之確定的時(shí)間即《坎卦》用事日。加小余一萬零九十一，滿元法一千一百五十八化入大余，即得《中孚》用事日。

　　求次卦：各加大余六，小余九百六十七。四正的確定沿用中日大余，小余乘以六。

　　推太陽所在宿度的方法：

　　以紀(jì)法一千八百四十三乘以朔積日，滿周天六十七萬三千一百五十則除去，余下不滿周天部分除以紀(jì)法一千八百四十三，所得商敷為度，余數(shù)為分。度分從牛宿前五度起算，滿一宿則除去，到剩下度分不滿所在宿大小時(shí)，則此即為天正十一月朔夜半太陽所在宿度及分。

　　求次日：每天加一度，分不加，經(jīng)過斗宿時(shí)除去斗宿分，如果分少不足減，度數(shù)減一化為分，再減之。

　　推月亮所在宿度的方法：

　　以月周二萬四千六百三十八乘以朔積日，滿周天六十七萬三千一百五十除去，余下不滿周天部分除以紀(jì)法一千八百四十三，所得商數(shù)為度，余數(shù)為分，起算命名方法與求太陽所在宿度時(shí)一樣，可得天正十一月朔夜半月亮所在宿度及分。

　　求次月：小月加度二十二，分八百零六；大月再加一天，度加十三，分六百七十九；分滿紀(jì)法一千八百四十三化入度，最后所得為次月朔夜半月亮所在宿度及分。其冬下旬，月在張宿、心宿之日作出標(biāo)記。

　　推合朔所在宿度的方法：

　　以章歲十九乘以朔小余，所得滿通法四十七化為大分，余下不足通法部分為小分。以大分加朔夜半太陽度分，分滿紀(jì)法一千八百四十三化入度，起算命名方法如前，可得天正十一月合朔太陽、月亮共合時(shí)的宿度分。

　　求次月；在上月基礎(chǔ)上加度二十九，大分九百七十七，小分四十二，小分滿通法四十七化入大分，大分滿紀(jì)法一千八百四十三化入度，經(jīng)過斗宿時(shí)除去斗宿分，所得為次月合朔太陽、月亮共合時(shí)的宿度分。

　　推弦、望時(shí)太陽所在宿度分：

　　在合朔時(shí)太陽度分的基礎(chǔ)上加度七，大分七百零五，小分十，微分一，微分滿二化入小分，小分滿通法四十七化入大分，大分滿紀(jì)法一千八百四十三化入度，起算命名方法輿前面一樣，則可得上弦時(shí)太陽所在宿度分。用同樣的辦法連續(xù)加，可依次得望、下弦、后月朔太陽所在宿度分。

　　推弦、望時(shí)月亮所在宿度分：

　　在合朔時(shí)月亮度分的基礎(chǔ)上加度九十八，大分一千二百七十九，小分三十四，小分至大分，大分至度的轉(zhuǎn)化及宿度分的推算與前面一樣，可得上弦時(shí)月亮所在宿度分。用同樣的辦法連續(xù)加，可依次得望、下弦、后月朔月亮所在宿度分。

　　推太陽和月亮昏、明度分的方法：

　　推算太陽以紀(jì)法一千八百四十三，月亮以月周二萬四千六百三十八，乘以輿所求日最靠近的節(jié)氣的夜漏，除以二百，所得分別為太陽和月亮的明分。推算太陽以紀(jì)法，月亮以月周分別減去各自的明分，所得為各自的昏分。以各自明分、昏分加各自夜半度分，分滿紀(jì)法化入度，可得太陽和月亮昏、明時(shí)所在宿度分。

　　推合朔交會月食的方法：

　　以所入紀(jì)的朔積分，加所在紀(jì)下交會差率，除去會通七十九萬零一百一十，余下的即為所求年天正十一月合朔時(shí)的去交度分。加上通數(shù)十三萬四千六百三十，滿會通則除去，余下的即為次月合朔時(shí)的去交度分。以朔望合敷六萬七千三百一十五各加當(dāng)月合朔時(shí)的去交度分，滿會通則除去，余下的為當(dāng)月望時(shí)的去交度分。朔和望時(shí)的去交度分，如果在朔望合數(shù)六萬七千三百一十五以下，或入交限數(shù)七十二萵二千七百九十五以上，朔貝交會，望則月食。

　　推合朔交會月食時(shí)月亮在黃道南北的方法：

　　以所入紀(jì)的朔積分，加所在紀(jì)的交會差率，除去會通的兩倍，余下的如果不滿會通，則紀(jì)首時(shí)月亮在黃道北，天正合朔時(shí)月亮也在日道表；紀(jì)首時(shí)月亮在黃道南，天正合朔時(shí)月亮也在黃道南。余下的如果滿會通則除去，紀(jì)首時(shí)月亮在黃道北，則天正合朔時(shí)月亮在黃道南；紀(jì)首時(shí)月亮在黃道南，則天正合朔時(shí)月亮在黃道北。

　　求次月：以通敷十三萬四千六百三十加上月合朔去交度分，滿會通則除去，如果上月合朔月亮在黃道南，加通敷后滿會通，則月亮變?yōu)樵邳S道北，不滿會通，則仍在黃道南；如果上月合朔月亮在黃道北，加通數(shù)后滿會通，則月亮變?yōu)樵邳S道南，不滿會通，則仍在黃道北。如果先交會后月食，合朔時(shí)月亮在黃道北則望時(shí)月亮也在黃道北，合朔時(shí)月亮在黃道南則望時(shí)月亮也在黃道南。先月食后交會，看見月食之月合朔時(shí)月亮在黃道南則望時(shí)月亮在黃道北，合朔時(shí)月亮在黃道北則望時(shí)月亮在黃道南。交會月食如果在朔望合數(shù)六萬七千三百一十五以下，則交在前，會在后；如果在入交限敷七十二萬二千七百九十五以上，則會在前，交在后。前交后會情形下，接近限數(shù)時(shí)應(yīng)在前月預(yù)候；前會后交情形下，接近限數(shù)時(shí)應(yīng)在后月候之。

　　求去交度的方法：

　　交在前會在后的，以去交度分除以日法四千五百五十九，所得為交點(diǎn)后去交度。會在前交在后的，以會通七十九萬零一百一十減去去交度分，余下的除以日法四千五百五十九，所得為交點(diǎn)前去交度。余數(shù)均為度分。去交度在十五以上，雖然交但不發(fā)生食，在十以下，必然發(fā)生食，在十以上，食虧很少，祇是光影相及而已。食虧具體多少，以十五作為分母來表達(dá)。

　　求日食虧起方位角的方法：

　　如果月亮在外道，交在先會在后，日食從西南角起虧；會在先交在后，日食從東南角起虧。如果月亮在內(nèi)道，交在先會在后，日食從西北角起虧；會在先交在后，日食從東北角起虧。日食虧分的多少，與月食一樣，以十五為分母來表達(dá)。日月相會于交中則食盡。月食時(shí)月亮在輿太陽相對的位置，起虧的方位角與上面相反。

　　月行遲疾度　　損益率　　盈縮積分　　　　　　　月行分

　　一日十四度十四分　益二十六　盈初　　　　　　　　　二百八十

　　二日十四度十一分　益二十三　盈積分118534　　　　　二百七十七

　　三日十四度八分　　益二十　　盈積分223391　　　　　二百七十四

　　四日十四度五分　　益十七　　盈積分314571　　　　　二百七十一

　　五日十四度一分　　益十三　　盈積分392714　　　　　二百六十七

　　六日十三度十四分　益七　　　盈積分451341　　　　　二百六十一

　　七日十三度七分　　損　　　　盈積分483254　　　　　二百五十四

　　八日十三度一分　　損六　　　盈積分483254　　　　　二百四十八

　　九日十二度十六分　損十　　　盈積分455900　　　　　二百四十四

　　十日十二度十三分　損十三　　盈積分410310　　　　　二百四十一

　　十一日十二度十一分損十五　　盈積分351413　　　　　二百三十九

　　十二日十二度八分　損十八　　盈積分282658　　　　　二百三十六

　　十三日十二度五分　損二十一　盈積分200596　　　　　二百三十三

　　十四日十二度三分　損二十三　盈積分104857　　　　　二百三十一

　　十五日十二度五分　益二十一　縮初　　　　　　　　　二百三十三

　　十六日十二度七分　益十九　　縮積分 95739　　　　　二百三十五

　　十七日十二度九分　益十七　　縮積分182336　　　　　二百三十七

　　十八日十二度十二分益十四　　縮積分259863　　　　　二百四十

　　十九日十二度十五分益十一　　縮積分323689　　　　　二百四十三

　　二十日十二度十八分益八　　　縮積分373838　　　　　二百四十六

　　二十一日十三度三分益四　　　縮積分410311　　　　　二百五十

　　二十二日十三度七分損　　　　縮積分428546　　　　　二百五十四

　　二十三日十三度十二分損五　　縮積分428546　　　　　二百五十九

　　二十四日十三度十八分損十一　縮積分405751　　　　　二百六十五

　　二十五日十四度五分　損十七　縮積分355602　　　　　二百七十一

　　二十六日十四度十一分損二十三縮積分278099　　　　　二百七十七

　　二十七日十四度十二分損二十四縮積分173242　　　　　二百七十八

　　周日十四度   十三分有小分六百二十六分

　　損二十五有小分六百二十六 

　　縮積分 63826　　　　　二百七十九

　　有小分六百二十六

　　推合朔交會月食入遲疾歷的方法：

　　以所求年入紀(jì)朔積分，加所在紀(jì)遲疾差率，除去通周十二萬五千六百二十一，余下不滿通周部分除以日法四千五百五十九得入歷天數(shù)，余數(shù)為日余，天數(shù)從所在紀(jì)干支起算，算外，可得所求年天正十一月合朔入歷。

　　求次月：加一天，余四千四百五十。求望，加十四天，El余三干四百八十九。日余滿曰法四千五百五十九化入天，天數(shù)滿二十七減去。再以日余減去周日日余二千五百二十八，曰余不足減，天數(shù)減去一，加固虛二千零三十一。

　　推合朔交會月食定大小余：

　　以入歷let余乘以所入歷的對應(yīng)損益率，以增減盈縮積分，所得為定積分。以所入歷日對應(yīng)的月行分減去章歲十九，以定積分除以其差，所得如果是盈積分則以平朔小余減之，如果是縮積分則以平朔小余加之，可得為定小余。縮加以后，小余滿日法四千五百五十九，則交會加時(shí)在后一天；平朔小余不足減盈積分，則交會加時(shí)在前一天。月食，同樣由定大余小余以確定加時(shí)。如果入歷日在周曰，以周日日余二千五百二十八乘以縮積分，所得為定積分。以損益率乘以入歷日余，再乘以周日日余二千五百二十八，加周日度小分六百二十六，用定積分減之，余下的為后定積分。以周月行分減章歲十九，乘以周曰日余，加周El let度小分，用后定積分除以它，所得加本小余，可得定小余。剩下的方法與上面一樣。

　　推加時(shí)：

　　以十二乘以定小余，滿曰法四千五百五十九得一辰，所得辰數(shù)從子時(shí)起算，算外，即為朔望加時(shí)所在之辰。有余數(shù)，乘以四，再除以曰法四千五百五十九，如果得一，則為少(四分之一)，如果得二，則為半(二分之一)，如果得三，則為太(四分之三)。再有余數(shù)，乘以三，除以日法四千五百五十九，如果得一，則為強(qiáng)(十二分之一)，如果在四千五百五十九的一半以上，入為一，得強(qiáng)(十二分之一)，在四千五百五十九的一半以下則舍去。以強(qiáng)(十二分之一)與少(四分之一)合并為少強(qiáng)(三分之一)，以強(qiáng)(十二分之一)與半(二分之一)合并為半強(qiáng)(十二分之七)，以強(qiáng)(十二分之一)與太(四分之三)合并為太強(qiáng)(六分之五)。如果得二強(qiáng)則為少弱(六分之一)，以少弱(六分之一)輿少(四分之一)合并為半弱(十二分之五)，以少弱(六分之一)與半(二分之一)合并為太弱(三分之二)，以少弱(六分之一)與太(四分之三)合并為一辰弱(十二分之十一)。以其所在辰命名，各自得該辰少、太、半及其強(qiáng)、弱。如果月食在中氣或節(jié)氣前后四天以內(nèi)，看限數(shù)；在中氣或節(jié)氣前后五天以上，看問限。定小余在間限、限數(shù)以下，以算上為月食所在日。　　

　　斗二十六分四百五十五　　

　　牛八　　女十二　　虛十　　危十七　　室十六　　壁九

　　北方九十八度分四百五十五

　　奎十六　　婁十二　胃十四　　昴十一　畢十六　　觜二　　

　　參九

　　西方八十度

　　井三十三　　鬼四　柳十五　　星七　　張十八　　翼十八　　  軫十七

　　南方百十二度

　　角十二　　亢九　　氐十五　　房五　　心五　　  尾十八　　  箕十一

　　東方七十五度

　　表略　　

　　以上中氣、節(jié)氣共二十四氣，按歷數(shù)推求，可得每年冬至十一月中氣時(shí)有關(guān)的數(shù)據(jù)。在此基礎(chǔ)上加得次月節(jié)氣數(shù)據(jù)，節(jié)氣加得其月中氣。中星的確定以太陽所在作為判據(jù)，以所求年二十四節(jié)氣小余乘以四，除以Et法四千五百五十九，如果得一，為少(四分之一)；如果達(dá)不到少(四分之一)，乘以三，除以Et法為強(qiáng)(十二分之一)；以所得減其節(jié)氣，則昏明中星各個(gè)都能確定。

　　推五星術(shù)：

　　五大行星，木星又名歲星，火星又名熒惑星，土星又名鎮(zhèn)星，金星又名太白星，水星又名辰星。五大行星的運(yùn)行，有快有慢，有留有逆。白天地開辟，清濁剛分開時(shí)，太陽、月亮、五大行星相聚于星紀(jì)。從星紀(jì)出發(fā)，在天上運(yùn)行，有快有慢，有留有逆，相互趕上。行星與太陽相會，處在同一宿同一度，叫做合。從合到下一次合，叫做終。各以一終的時(shí)間與一年的時(shí)間通分相約，分子為合終歲數(shù)，分母為合終合數(shù)。遺兩個(gè)數(shù)確定后，則其他的基本數(shù)據(jù)也有了。以章歲十九乘以合數(shù)，所得為合月法。以紀(jì)法一千八百四十三乘以合數(shù)，所得為度法。以章月二百三十五乘以歲數(shù)所得為合月分；除以合月法所得商數(shù)為合月數(shù)，余數(shù)為月余。以通數(shù)十三萬四千六百三十乘以合月數(shù)，除以日法四千五百五十九，所得商數(shù)為大余。以大余連續(xù)除去六十，余下不滿六十的部分為行星合朔大余。大余之外的余數(shù)為朔小余。以通數(shù)乘以月余，以合月法乘以朔小余，二者相加，除以日法四千五百五十九與合月法之積，所得商數(shù)為行星合入月數(shù)。余數(shù)除以通法四十七，所得為入月日余。以朔小余減去日法，所得為朔虛分。以歷斗分四百五十五乘以合數(shù)，所得為星度斗分。木星、火星、土星以各自的歲數(shù)減去合數(shù)，余下的乘以周天六十七萬三千一百五十，除以日度法，所得商數(shù)為行星度數(shù)，余數(shù)為度余。金星、水星以周天乘以各自歲數(shù)，除以日度法，所得商敷為行星度數(shù)，余數(shù)為度余。

　　木星：

　　合終歲數(shù)：一千二百五十五。

　　合終合數(shù)：一千一百四十九。

　　合月法：二萬一千八百三十一。

　　日度法：二百一十一萬七千六百零七。

　　合月數(shù)：十三。

　　月余：一萬一千一百二十二。

　　朔大余：二十三。

　　朔小余：四千零九十三。

　　入月日：十五。

　　月余：一百九十九萬五千六百六十四。

　　朔虛分：四百六十六。

　　斗分：五十二萬二千七百九十五。

　　行星度：三十三。

　　度余：一百四十七萬二千八百六十九。

　　火星：

　　合終歲數(shù)：五千一百零五。

　　合終合數(shù)：二千三百八十八。

　　合月法：四萬五千三百七十二。

　　日度法：四百四十萬一千零八十四。

　　合月敷：二十六。

　　月余：二萬零三。

　　朔大余：四十七。

　　朔小余：三千六百二十七。

　　入月日：十三。

　　日余：三百五十八萬五千二百三十。

　　朔虛分：九百三十二。

　　斗分：一百零八萬六千五百四十。

　　行星度：五十。

　　度余：一百四十一萬二千一百五十。

　　土星：

　　合終歲數(shù)：三千九百四十三。

　　合終合敷：三千八百零九。

　　合月法：七萬二千三百七十一。

　　日度法：七百零一萬九千九百八十七。

　　合月數(shù)：十二。

　　月余：五萬八千一百五十三。

　　朔大余：五十四。

　　朔小余：一千六百七十四。

　　入月日：二十四。

　　日余：六十七萬五千三百六十四。

　　朔虛分：二千八百八十五。

　　斗分：一百七十三萬三千零九十五。

　　行星度：十二。

　　度余：五百九十六萬二千二百五十六。

　　金星：

　　合終歲數(shù)：一千九百零七。

　　合終合敷：二千三百八十五。

　　合月法：四萬五千三百一十五。

　　日度法：四百三十九萬五千五百五十五。

　　合月敷：九。

　　月余：四萬零三百一十。

　　朔大余：二十五。

　　朔小余：三千五百三十五。

　　入月日：二十七。

　　日余：十九萬四千九百九十。

　　朔虛分：一千零二十四。

　　斗分：一百零八萬五千一百七十五。

　　行星度：二百九十二。

　　度余：十九萬四千九百九十。

　　水星：

　　合終歲數(shù)：一千八百七十。

　　合終合數(shù)：一萬一千七百八十九。

　　合月法：二十二萬三千九百九十一。

　　日度法：二千一百七十二萬七千一百二十

　　合月數(shù)：一。

　　月余：二十一萬五千四百五十九。

　　朔大余：二十九。

　　朔小余：二干四百一十九。

　　入月日：二十八。

　　日余：二千零三十四萬四千二百六十一。

　　朔虛分：二千一百四十。

　　斗分：五百三十六萬三千九百九十五。

　　行星度：五十七。

　　度余：二千零三十四萬四千三百六十一。

　　推五星的方法：

　　以壬辰元至所求年的年數(shù)，乘以合終合數(shù)，除以合終歲數(shù)，所得商數(shù)命名為積合，余數(shù)命名為合余。以合余除以合終合敷，如果商敷得一，則行星去年輿太陽合，如果商敷得二，則行星前年與太陽合，如果商數(shù)無所得(為零)，則行星在所求年與太陽合。合終合敷減去余數(shù)，為度分。金星、水星的積合為偶數(shù)時(shí)，早晨輿太陽合，積合為奇數(shù)，晚上與太陽合。

　　推五星合時(shí)所在月：

　　以月數(shù)、月余各乘以積合，月余滿合月法化入月，最后所得為積月，不滿合月法部分為月余。以積月除以紀(jì)月二萬二千七百九十五，所得商數(shù)算外，為所入紀(jì)，余數(shù)為入紀(jì)月。以章閏乘以入紀(jì)月，除以章月二百三十五，所得為閏月數(shù)，以入紀(jì)月減之，差數(shù)大于歲中十——N除去，余下不滿十二部分為入歲月，從天正十一月起算，算外，為行星會合時(shí)所在月份。如果正好在閏月，則按照朔日確定。

　　推會合所在月朔：

　　以通數(shù)乘以十三萬四千六百三十乘以入紀(jì)月，除以日法，所得商數(shù)為積日，余數(shù)為小余。以積日連續(xù)減去六十，余下不滿六十部分為大余，以所入紀(jì)干支起算，算外，為行星會合時(shí)所在月朔日。

　　推行星會合時(shí)入月日：

　　以通數(shù)十三萬四千六百三十乘以月余，合月法乘以朔小余，二者相加，除以日度法，所得商數(shù)為行星會合時(shí)入月數(shù)，余數(shù)為日余。日敷從朔日起算，算外，為行星會合時(shí)入月日。

　　推行星會合時(shí)所在宿度：

　　以周天六十七萬三千一百五十乘以度分，除以日度法，所得余數(shù)為行星會合時(shí)度數(shù)，余數(shù)為度余。度數(shù)從牛宿前五度起算，算外，為行星會合時(shí)所在宿度。

　　求下次會合時(shí)所在月份：

　　以月數(shù)加上次會合時(shí)入歲月，月余加上次會合時(shí)月余，所得月余在合月法以上，則化入月數(shù)。如果月數(shù)小于歲中十二，則行星在本年會合；如果月數(shù)大于等于歲中，減之，有閏月亦減之，余下小于歲中，則會合在上次會合的后一年；如果余下的仍大于等于十二，則會合在上次會合的后二年。金星、水星加一次會合后由早晨會合變?yōu)橥砩蠒希砩蠒献優(yōu)樵缟蠒稀?/p>

　　求下次會合時(shí)所在月朔日：

　　以朔大余、朔小余，加上次合月大余、小余，加后滿一月，再加大余二十九，小余二千四百一十九，小余滿日法四千五百五十九部分，化為大余，起算命名的方法如前。

　　求下次會合時(shí)的入月日：

　　以入月日、日余，加上次會合時(shí)入月日、日余，日余滿日度法部分，化為日。如果上次會合朔小余大于等于對應(yīng)虛分，則減一日；如果本次會合小余大于等于二千四百一十九，減去二十九日；小于二千四百一十九，減去三十曰，余下的為本次會合時(shí)入月曰，以朔日起算。求下次會合時(shí)所在宿度，以度數(shù)及分加上次會合時(shí)度數(shù)及分，從上次會合時(shí)所在宿度起算，所得即為本次會合時(shí)所在宿度。

　　木星：早晨輿太陽會合，伏，順行，十六天九十九萬七千八百三十二分，共運(yùn)行二度一百七十九萬五千二百三十八分，轉(zhuǎn)而早晨在東方出現(xiàn)，在太陽之后。順行，快，每天運(yùn)行五十七分之十一度，五十七天共運(yùn)行十一度。再順行，慢，每天運(yùn)行九分，五十七天共運(yùn)行九度，留。二十七天不動而轉(zhuǎn)向。逆行，每天運(yùn)行七分之一度，八十四天共退行十二度，再留。二十七天停止不動，再慢行，每天運(yùn)行九分，五十七天共運(yùn)行九度而順行。快，每天運(yùn)行十一分，五十七天共運(yùn)行十一度，在太陽之前，晚上隱伏于西方。順行，十六天九十九萬七千八百三十二分，共運(yùn)行二度一百七十九萬五千二百三十八分，與太陽會合。總計(jì)一終，三百九十八天一百九十九萬五千六百六十四分，運(yùn)行三十三度一百四十七萬二千八百六十九分。

　　火星：早晨與太陽會合，隱伏不見，七十二天一百七十九萬二千六百一十五分，運(yùn)行五十六度一百二十四萬九千三百四十五分，轉(zhuǎn)而早晨在東方出現(xiàn)，在太陽之后。順行，每天運(yùn)行二十三分之十四度，一百八十四天運(yùn)行一百一十二度。再順行，慢，每天運(yùn)行十二分，九十二天運(yùn)行四十八度而留。十一天不動，轉(zhuǎn)向。逆行，每天運(yùn)行六十二分之十七度，六十二天退行十七度，再留。十一天后轉(zhuǎn)為順行，慢，每天運(yùn)行十二分，九十二天運(yùn)行四十八度，速度變快。每天運(yùn)行十四分，一百八十四天運(yùn)行一百一十二度，在太陽之前，晚上隱伏于西方。順行，七十二天一百七十九萬二千六百一十五分，運(yùn)行五十六度一百二十四萬九千三百四十五分，與太陽會合。總計(jì)一終，七百八十天三百五十八萬五千二百三十分，運(yùn)行四百一十五度二百四十九萬八千六百九十分。

　　土星：早晨與太陽會合，隱伏不見，十九天三百八十四萬七千六百七十五點(diǎn)五分，運(yùn)行二度六百四十九萬一千一百二十一點(diǎn)五分，轉(zhuǎn)而早晨在東方出現(xiàn)，在太陽之后。順行，每天運(yùn)行一百七十二分之十三度，八十六天運(yùn)行六點(diǎn)五度而留。三十二點(diǎn)五天不動，轉(zhuǎn)向。逆行，每天運(yùn)行十七分之一度，一百零二天退行六度，再留。三十二點(diǎn)五天不動，轉(zhuǎn)而順行，每天運(yùn)行十三分，八十六天運(yùn)行六點(diǎn)五度，在太陽前面，晚上隱伏于西方。順行，十九天三百八十四萬七千六百七十五點(diǎn)五分，運(yùn)行二度六百四十九萬一千一百二十一點(diǎn)五分，與太陽會合。總計(jì)一終，共三百七十八天六十七萬五千三百六十四分，運(yùn)行十二度五百九十六萬二千二百五十六分。

　　金星：早晨與太陽會合，伏，逆行，六天退行四度，轉(zhuǎn)而早晨在東方出現(xiàn)，在太陽之后，逆行。慢，每天運(yùn)行五分之三度，十天退行六度。留，七天不動，轉(zhuǎn)向。順行，慢，每天運(yùn)行四十五分之三十三度，四十五天運(yùn)行三十三度，順行。快，每天運(yùn)行一又九十一分之十四度，九十一天運(yùn)行一百零五度而順行。更快，每天運(yùn)行一又九十一分之二十一度，九十一天運(yùn)行一百一十二度，在太陽之后，早晨隱伏于東方。順行，四十二天十九萬四千九百九十分運(yùn)行五十二度十九萬四千九百九十分，與太陽會合。一合，總計(jì)二百九十二天十九萬四千九百九十分，運(yùn)行二百九十二度十九萬四千九百九十分。

　　金星：晚上與太陽會合，隱伏不見，順行，四十二天十九萬四千九百九十分運(yùn)行五十二度十九萬四千九百九十分，轉(zhuǎn)而晚上在西方出現(xiàn)，在太陽之前。順行，快，每天運(yùn)行一又九十一分之二十一度，九十一天運(yùn)行一百一十二度，再順行。慢，每天運(yùn)行一度十四分，九十一天運(yùn)行一百零五度，再順行。更慢，每天運(yùn)行四十五分之三十三度，四十五天運(yùn)行三十三度而留。七天不動，轉(zhuǎn)向。逆行，每天運(yùn)行五分之三度，十天退行六度，在太陽之前，晚上隱伏于西方。逆行，六天退行四度，輿太陽會合。總計(jì)二次會合，一終，五百八十四天三十八萬九千九百八十分，運(yùn)行五百八十四度三十八萬九千九百八十分。

　　水星：早晨與太陽會合，隱伏不見，十一天退行七度，早晨在東方出現(xiàn)，在太陽之后。逆行，快，一天退行一度而留。一天不動，轉(zhuǎn)向。順行，慢，每天運(yùn)行八分之七度，八天運(yùn)行七度，順行。快，每天運(yùn)行一又十八分之四度，十八天運(yùn)行二十二度，在太陽之后，早晨隱伏于東方。順行，十八天二千零三十四萬四千二百六十一分運(yùn)行三十六度二千零三十四萬四千二百六十一分，輿太陽會合。一合，共五十七天二千零三十四萬四千二百六十一分，運(yùn)行五十七度二千零三十四萬四千二百六十一分。

　　水星：晚上與太陽會合，隱伏不見，十八天二千零三十四萬四千二百六十一分運(yùn)行三十六度二千零三十四萬四千二百六十一分，晚上在西方出現(xiàn)，在太陽之前。順行，快，每天運(yùn)行一又十八分之四度，十八天運(yùn)行二十二度，順行。慢，每天運(yùn)行八分之七度，八天運(yùn)行七度而留。一天不動，轉(zhuǎn)向。逆行，一天退行一度，在太陽之前，晚上隱伏于西方。逆行，十一天退行七度，與太陽會合。總計(jì)二次會合，一終，一百一十五天一千八百九十六萬一千三百九十五分，運(yùn)行一百一十五度一千八百九十六萬一千三百九十五分。

　　五星歷步術(shù)：

　　把給定行星隱伏時(shí)的天數(shù)、度數(shù)及其余數(shù)，加入到此行星會合時(shí)的時(shí)間、所在宿度及其余數(shù)，余數(shù)大于日度法則化為天數(shù)、度數(shù)加之，命名的方法輿前面一樣，即可得到此行星出現(xiàn)的時(shí)間和所在宿度。以行星每天運(yùn)行分?jǐn)?shù)的分母乘以該星首次出現(xiàn)時(shí)的度數(shù)，度余除以日度法得一，如果度余達(dá)到日度法的一半以上也得一，每天加上所運(yùn)行的分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)大于等于其對應(yīng)之分母得一度。逆行和順行時(shí)所用分母不同，以現(xiàn)行的對應(yīng)分母乘以前面的運(yùn)行分，除以前面運(yùn)行分對應(yīng)的分母，所得為對應(yīng)于現(xiàn)行分母的運(yùn)行分。當(dāng)行星留時(shí)，宿度沿用前面的不變，逆行則減之，伏時(shí)不寫出每天運(yùn)行的度數(shù)，經(jīng)過斗宿時(shí)除去斗分，以現(xiàn)行分母作為比率。運(yùn)行分有增有減，前后相互照應(yīng)。

　　武帝時(shí)的侍中平原人劉智，以斗歷修改歷法，推崇《四分法》，三百年減一天，以一百五十為度法，三十七為斗分。推算甲子作為上元，到泰始十年，即甲午年，共九萬七千四百一十一年，上元天正甲子朔夜半冬至，太陽、月亮、五大行星從星紀(jì)開始，得到上元之首的開端。以虛浮之說作為飾辭，名為《正歷》。

　　當(dāng)陽侯杜預(yù)著《春秋長歷》，說：

　　太陽運(yùn)行一度，月亮運(yùn)行十三又十九分之七度多，掌管歷法的官員根據(jù)太陽、月亮運(yùn)動的快慢，以考察晦、朔，設(shè)置閏月。閏月沒有中氣，北斗斜指于兩辰之間，因此與其他十二個(gè)月不一樣。以此連續(xù)推算，則四時(shí)八節(jié)沒有乖錯(cuò)，這才能夠成歲，其間達(dá)到極為精微細(xì)密的境界。得其精微，以合天道，則事情有序而不錯(cuò)亂。所以《傳》說：“閏月用來校正紀(jì)時(shí)，紀(jì)時(shí)用來指導(dǎo)人事。”但是陰陽的運(yùn)轉(zhuǎn)，隨著本身的移動而產(chǎn)生誤差，誤差不斷積累，于是輿歷法乖錯(cuò)。所以仲尼、丘明每次在朔和閏月時(shí)作記錄，是為了矯正歷法的得失，以此闡明歷數(shù)。

　　劉子駿造《三正歷》，以之研習(xí)《春秋》，《春秋》所載日食，帶日干支的有三十四次，而按《三正歷》推算衹得一次，與其他歷法相比，最為粗疏。并且六千多年一天，凡是年應(yīng)該由每天累積而成，而故意增加，其不可行達(dá)到了極點(diǎn)。

　　自古以來，那些討論《春秋》的歷家多有荒謬，或者用自己造的歷法，或者用黃帝以來各家歷法，推算經(jīng)傳中的朔El，都與經(jīng)傳不合。日食發(fā)生在朔日，這是符合自然的規(guī)律，  《經(jīng)》、《傳》上又寫著，朔日Et食，可以稱為得天，而劉、買等各人的學(xué)說，都認(rèn)為日食可在月初二或初三發(fā)生，公然違背圣人的明文，他們的弊端在于，衹認(rèn)定一個(gè)上元，而不根據(jù)實(shí)際天象進(jìn)行改正。

　　我感慨于上述有關(guān)《春秋》歷法之事，曾經(jīng)著《歷論》，極言歷法的通理。大體的意思是：天運(yùn)行不息，太陽、月亮和行星各自在天上運(yùn)行，都是運(yùn)動的天體。天體運(yùn)動則不可能總保持一致，縱然它們的行度大量可得并且限定在一定的范圍之內(nèi)，日積累而成為月，月積累而成為年，新的和舊的相互關(guān)聯(lián)，不可能沒有微小的誤差，這是很自然的道理。所以春秋時(shí)有的連續(xù)兩個(gè)月都有日食，有的多年都沒有日食，按理不可能統(tǒng)一，而歷法推算所用的基本數(shù)據(jù)保持不變，所以按歷法推算的結(jié)果都與實(shí)際天象有先有后。開始的誤差很小，因此覺察不到，誤差積累而變大，以至于推算所得弦、望、晦、朔與實(shí)際不符，則不得不修改歷法，使之與實(shí)際天象相符。這就是《書》所說的“欽若昊天，歷象日月星辰”，《易》所說的“治歷明時(shí)”，認(rèn)為歷法的制定應(yīng)該順應(yīng)實(shí)際天象以求得二者的符合，而不是先制定歷法，然后驗(yàn)證實(shí)際天象是否與之相符。推而論之，春秋二百多年間，肯定有多次修改歷法以順應(yīng)天象。雖然春秋時(shí)的歷法已經(jīng)堙減不傳，追尋《經(jīng)》和《傳》中隱含的旨意，從大量事實(shí)可以得知，時(shí)令的違謬，《經(jīng)》和《傳》上均有憑據(jù)。學(xué)者們本應(yīng)當(dāng)探尋《經(jīng)》和《傳》中記載的月、日和日食，以考察晦、朔，推演它們是否與實(shí)際時(shí)間一致；但他們卻不這樣做，各自根據(jù)自己的歷法，推算春秋月、日和日食，這樣做無異于以自己的腳印為標(biāo)準(zhǔn)，去削他人之足。

　　我著《歷論》之后，至咸寧年問，有善于計(jì)算的奎壁、上題兩人，依據(jù)我的論述制造了名為《干度歷》的歷法，上于朝廷。他們的歷法，太陽運(yùn)動用《四分歷》的基本數(shù)據(jù)，僅僅增加了月亮運(yùn)行的速率，用三百年修改歷法的說法，用二元推算七十余年的天象，誤差甚小，對天體運(yùn)行的描述可以推演到遙遠(yuǎn)的年代。當(dāng)時(shí)的尚書和史官用《干度歷》和《泰始?xì)v》參校古今記注，發(fā)現(xiàn)《干度歷》大大勝過《泰始?xì)v》，于是上奏它勝過官歷的具體的四十五個(gè)事例。現(xiàn)在他們的歷法都還保存著。又同時(shí)用古今十部歷法推算檢驗(yàn)《春秋》，從中可知，《三統(tǒng)歷》最為粗疏。

　　《春秋》上總共記載了七百七十九個(gè)干支日，三百九十三日在《經(jīng)》上，三百八十六日在<傳》上。三十七次日食。三次沒有日干支。

　　《黃帝歷》推算四百六十六日和一次日食符合。

　　《顓項(xiàng)歷》推算五百零九日和八次日食符合。

　　《夏歷》推算五百三十六日和十四次日食符合。

　　《真夏歷》推算四百六十六日和一次日食符合。

　　《殷歷》推算五百零三日和十三次日食符合。

　　《周歷》推算五百零六日和十三次日食符合。

　　《真周歷》推算四百八十五日和一次日食符合。

　　《魯歷》推算五百二十九日和十三次日食符合。

　　《三統(tǒng)歷》推算四百八十四日和一次日食符合。

　　《干象歷》推算四百九十五日和七次日食符合。

　　《泰始?xì)v》推算五百一十日和十九次日食符合。

　　《干度歷》推算五百三十八日和十九次日食符合。

　　現(xiàn)在的《長歷》推算七百四十六和三十三次日食符合。三十三不符，<經(jīng)》、《傳》有誤；四次日食不符，其中三次無干支。

　　漢末，宋仲子搜集七種歷法考證《春秋》，經(jīng)研究，其中夏、周二歷都與《藝文志》所記載的不同，所以更名為《真夏歷》、《真周歷》。

　　穆帝永和八年，著作郎瑯邪人王朔之造《通歷》，以甲子為上元，積九萬七千年，四千八百八十三為紀(jì)法，一千二百零五為斗分，沿用其上元作為開辟之始。

　　后秦姚興時(shí)，孝武太元九年，即甲申年，天水人姜岌造《三紀(jì)甲子元?dú)v》，大略說：“研治歷法的方法，先必須捆究、月的運(yùn)行，然后才可以上考天時(shí)，下察地化。一旦失去了這個(gè)根本，則四時(shí)季節(jié)的安排就會雜亂無序。所以仲尼創(chuàng)作《春秋》，以繼月，月以繼時(shí)，時(shí)以繼年，年以首事，明悉天時(shí)是人事的根本，所以歷代帝王都很重視歷法。自皇羲以來，直到漢、魏，各朝都制定了自己的歷法，以求與天象相符。考察歷法是粗疏還是精密，衹能用交食作為判據(jù)。然而書中所記，衹有《春秋》上載有日食，從隱公到哀公，總計(jì)二百四十二年間，人日食三十六次，考察其晦、朔，不知道用的是什么歷法。班固認(rèn)為《春秋》沿用《魯歷》，《魯歷》不正，所以閏月設(shè)置不當(dāng)。魯以閏余為一的這年作為部首，考查《春秋》中設(shè)置閏月的方法，與此首不符。《命歷序》上說：孔子為了研究《春秋》，曾專門研治殷朝的歷法，使之可以傳于后世。如果真是這樣的話，《春秋》月、El和交食的校正應(yīng)該用《殷歷》。現(xiàn)考查《春秋》上的交食，與《殷歷》不符，用《殷歷》考查《春秋》，月朔日多數(shù)與《春秋》不一樣，再以之對比《經(jīng)》，都多一Et，《傳》則少一日。但《公羊》、《經(jīng)》與《傳》上朔日不一樣，從道理上也說得過去，然而《經(jīng)》上有日食于朔日的證據(jù)，《傳》卻認(rèn)為失朔。服虔用太極上元注解《傳》，太極上元乃是劉歆《三統(tǒng)歷》所制造的歷元，哪裹能施用于《春秋》呢?研究《春秋》而用《漢歷》，從義理上來說不是差得太遠(yuǎn)了嗎?  《傳》中不對的地方很多，不祇是這件事而已。襄公二十七年冬十一月乙亥朔日食。《傳》上說：‘日月相會在申，掌管歷法官員出錯(cuò)，兩次失閏。’考察朔Et太陽月亮的去交分，交食應(yīng)該在此月，而不是兩次失閏。用劉歆的歷法考查《春秋》日食，衹有一次在朔，其余的多發(fā)生在月初二，因此劉歆在其歷法后面附《五行傳》，著述牽強(qiáng)附會之說：春秋時(shí)諸侯多不施行德政，所以月亮運(yùn)行經(jīng)常緩慢。劉歆不但不認(rèn)為日食不發(fā)生在朔是歷法推算的失誤，反而為之作錯(cuò)誤的辯解。日食發(fā)生在朔，乃是天經(jīng)地義之事，而劉歆反而據(jù)自己的歷法非議實(shí)際天象，這是倚恃歷法而冤屈天。杜預(yù)又認(rèn)為周曲衰落，國家動蕩不安，學(xué)者們沒有得到當(dāng)時(shí)真正施用的歷法，現(xiàn)在傳世的七種歷法，都未必是各個(gè)王朝實(shí)際行用的歷法。現(xiàn)今如果以遣七家歷法考察古今交食，確信不可能得到驗(yàn)證，這都是由于斗分粗疏所致。《殷歷》以四分之一為斗分，《三統(tǒng)歷》以一千五百三十九分之三百八十五為斗分，《干象歷》以五百八十九分之一百四十五為斗分，現(xiàn)在的《景初歷》以一千八百四十三分之四百五十五為斗分，疏密不同，方法和基本數(shù)據(jù)也不一樣。《殷歷》斗分太大，所以不能施用于現(xiàn)在。《干象歷》斗分太小，所以不能用于古代。《景初歷》斗分雖然在二者之間，但日所在宿度仍與實(shí)際相差四度，日月虧損，都不在對應(yīng)的位置，假使在東井宿食，以月驗(yàn)算，卻在參宿六度，相差這么大，怎么可以用來考察天時(shí)人事呢?現(xiàn)在研治的新歷，以二千四百五十一分之六百零五為斗分，日在斗宿十七度，天正之首，往上推考可以以《春秋》作為判據(jù)，往下可以看它是否輿現(xiàn)在的實(shí)際天象符合。用它來考察《春秋》三十六次日食，正好在朔日的有二十五次。日食二的有二次，在晦日的有二次，有誤的五次，總計(jì)三十三次，其余日食經(jīng)中沒有標(biāo)明干支，沒辦法用來考證其得失。圓緯上都說‘三百年修改歷法，。以上述新歷施用于春秋時(shí)代，日食多在朔日。從春秋到現(xiàn)在，共一千多年，交會弦望，衹不過三次交食算對，新歷可以永遠(yuǎn)施用，哪裹需要三百年修改一次呢?”

　　甲子上元以來，至魯隱公元年己未，總共八萬二千七百三十六年，至?xí)x孝武太元九年甲申，總共八萬三千八百四十一年，算上。

　　元法，七千三百五十三。

　　紀(jì)法，二千四百五十一。

　　通數(shù)，十七萬九千四十四。

　　日法，六千六十二。

　　月周，三萬二千七百六十六。

　　氣分，萬二千八百六十。

　　元月，九萬九百四十五。

　　紀(jì)月，三萬三百一十五。

　　沒分，四萬四千七百六十一。

　　沒法，六百四十三。

　　斗分，六百五。

　　周天，八十九萬五千二百二十。一名紀(jì)日。

　　章月，二百三十五。

　　章歲，十九。

　　章閏，七。

　　歲中，十二。

　　會數(shù)，四十七。日月八百九十三歲，凡四十七會，分盡。

　　氣中，十二。

　　甲子紀(jì)　　交差，九千一百五十七。

　　甲申紀(jì)　　交差，六千三百三十七。

　　甲辰紀(jì)　　交差，三千五百一十七。

　　周半，一百二十七。

　　朔望合數(shù)，九百四十一。

　　會歲，八百九十三。

　　會月，萬一千四十五。

　　小分，二千一百九十六。章數(shù)：一百二十九。

　　小分：二千一百八十三。

　　周閏大分：七萬六千二百六十九。

　　歷周：四十四萬七千六百一十。半周天。

　　會分：三萬八千一百三十四。

　　差分：一萬一千九百八十六。

　　會率：一千八百八十二。

　　小分法：二千二百零九。

　　入交限：一萬零一百零四。

　　小周：二百五十四。

　　甲子紀(jì)  差率，四萬九千一百七十八。

　　甲申紀(jì)  差率，五萬八千二百三十一。

　　甲辰紀(jì)  差率，六萬七千二百八十四。

　　通周：十六萬七千零六十三。

　　周日日余：三千三百六十二。

　　周虛：二千七百零一。

　　五星約法，根據(jù)行星的出現(xiàn)作為推算的基點(diǎn)，不系于上元。然而推步總要追尋到元初，約法可在現(xiàn)在施用，探求其中的旨趣，則各有其優(yōu)越之處，所以作者把兩種方法并列。姜岌利用月食測量日所在宿度，為研治歷法的人所宗仰。又著《渾天論》，于黃道推算太陽的運(yùn)行，駁斥前儒的錯(cuò)誤，所論都很合適。