物理學(xué)家名人故事：彭加萊_1500字
亨利·龐加萊 (JulesHenri Poincaré)是法國(guó)數(shù)學(xué)家、天體力學(xué)家、數(shù)學(xué)物理學(xué)家、科學(xué)哲學(xué)家，1854年4月29日生于法國(guó)南錫，1912年7月17日卒于巴黎。龐加萊的研究涉及數(shù)論、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、天體力學(xué)、數(shù)學(xué)物理、多復(fù)變函數(shù)論、科學(xué)哲學(xué)等許多領(lǐng)域。
提到龐加萊，可能人們最先想到的是著名的“龐加萊猜想”，不過(guò)這一小節(jié)我們聊聊龐加萊一段真實(shí)又有趣的故事，這個(gè)故事對(duì)于理解數(shù)理統(tǒng)計(jì)中假設(shè)檢驗(yàn)這個(gè)模塊很有幫助。
我們買一些食品時(shí)，食品的重量多少會(huì)有些浮動(dòng)，例如面包包裝袋的重量標(biāo)識(shí)可以這樣寫：
表示面包的重量應(yīng)該是1000g，但由于種種原因可能會(huì)有50g的誤差。龐加萊是個(gè)每天都會(huì)吃面包的人，他也遇到了同樣的事，一個(gè)面包師聲稱賣給龐加萊的面包平均重量是1000g，上下浮動(dòng)50g。這位面包師每天都會(huì)賣個(gè)龐加萊一個(gè)面包，面對(duì)這位忠實(shí)的顧客，他沒(méi)有絲毫的防備，按照自己的買賣方式每天賣個(gè)這位數(shù)學(xué)天才1個(gè)面包，不過(guò)這位面包師的噩夢(mèng)也從此開(kāi)始。
在龐加萊眼中，面包應(yīng)有重量1000g，上下浮動(dòng)50g，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)就是：面包的重量服從期望為1000g，標(biāo)準(zhǔn)差為50g的正態(tài)分布。作為一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)家，龐加萊每天都會(huì)將買來(lái)的面包稱重，前9天的記錄數(shù)據(jù)（單位g）如下：
981 972 966 992 1010 1008 954 952 969
這組數(shù)據(jù)的期望（平均數(shù)）為x=978.2，盡管期望小于1000g，但也有50g的浮動(dòng)，從感覺(jué)上盡管有些不爽但也難說(shuō)有問(wèn)題，不過(guò)對(duì)于身為數(shù)學(xué)家的龐加萊有8成的把握認(rèn)定面包師在制作過(guò)程中偷工減料。但此時(shí)證據(jù)難說(shuō)確鑿，龐加萊決定按兵不動(dòng)，繼續(xù)記錄了16天，累計(jì)25個(gè)數(shù)據(jù)如下：
25天的記錄數(shù)據(jù)的平均數(shù)為978.7g，略有增加，但此時(shí)龐加萊有95%的把握認(rèn)定面包師在制作過(guò)程中偷工減料。
龐加萊果斷舉報(bào)給質(zhì)檢部門，當(dāng)質(zhì)檢員到來(lái)時(shí)，面包師百般抵賴，聲稱自己做的面包就是以1000g為基準(zhǔn)做的，最多有上下50g的誤差，從龐加萊提供的數(shù)據(jù)中，全部符合他描述的規(guī)律，一時(shí)間質(zhì)檢工作人員也無(wú)可奈何。但這位面包師可能還不認(rèn)識(shí)他的對(duì)手，一位精通假設(shè)檢驗(yàn)的數(shù)學(xué)家，下面是龐加萊的證詞：
第一點(diǎn).如果面包師的說(shuō)法的正確的，則每個(gè)面包的質(zhì)量X服從以1000g為期望，50g為方差的正態(tài)分布
這點(diǎn)倒是沒(méi)什么問(wèn)題，好像25個(gè)面包的每一個(gè)都服從這個(gè)規(guī)律。但是25個(gè)面包的平均值也服從正態(tài)分布，這就是重要的第二點(diǎn)。
第二點(diǎn).25個(gè)面包的平均數(shù)也服從正態(tài)分布，期望依然是1000，不過(guò)方差卻改變了，計(jì)算公式如下：
也就是說(shuō)25個(gè)面包的平均重量服從以下正態(tài)分布：
面包師和質(zhì)檢人員表示沒(méi)聽(tīng)懂，這能說(shuō)明什么？龐加萊給出了通俗的解釋：一個(gè)面包的重量波動(dòng)的會(huì)大一點(diǎn)，多個(gè)面包的平均重量的波動(dòng)范圍就會(huì)小很多。就想你投擲骰子，投擲1次可能的點(diǎn)數(shù)是1到6中的任意一個(gè)，但是如果你投擲100次骰子，這100次總數(shù)的平均值基本就是3.5這個(gè)常數(shù)，不信您可以試試。面包師和質(zhì)檢員基本理解了這個(gè)道理，繼續(xù)聽(tīng)龐加萊的第三點(diǎn)說(shuō)明。
第三點(diǎn).既然25個(gè)面包總重量的均值服從期望為1000g，方差為10g的正態(tài)分布，我們先看看正態(tài)分布數(shù)據(jù)的分布特點(diǎn)，如圖：
從上圖中可以看出，95.44%的數(shù)據(jù)落入以期望1000g為中心，2倍方差為浮動(dòng)（即20g）的范圍里，即[980,1020]。換句話說(shuō)，如果面包師嚴(yán)格按照1000g為基準(zhǔn)，50g為浮動(dòng)制作面包，那么25個(gè)面包質(zhì)量的平均值，將有95.44%的可能性落入[980,1020]這個(gè)范圍里，相反低于980g或者高于1020g的概率還不到5%，所以面包師一定故意偷工減料了。
聽(tīng)過(guò)了龐加萊對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)的科普，質(zhì)檢員對(duì)面包師做了處罰，面包師也承認(rèn)自己確實(shí)是以980g為基準(zhǔn)做的面包，并同意做出改正。
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