高斯算術(shù)的妙用

在數(shù)學(xué)世界的王國(guó)里，曾出現(xiàn)過(guò)無(wú)數(shù)的天才，其中有一位就是人稱(chēng)“數(shù)學(xué)王子”的高斯。相信大家都知道，高斯在小時(shí)候就巧妙地解出了老師出的一道難題：1 2 3 4 5 …… 100=？你一定也知道這是什么題型吧，不錯(cuò)，這就是后來(lái)被稱(chēng)為“高斯算術(shù)”的等差數(shù)列求和。

這一天，爸爸給我講了高斯的這個(gè)故事，并考我：“1到10的整數(shù)之和是多少？”我聽(tīng)了題，心想：太簡(jiǎn)單了，我用配對(duì)法不就可以了嗎？想完，我就立刻算了起來(lái)：1 10=11；2 9=11；3 8=11；4 7=11；5 6=11；一共5組，11×5=55。

“對(duì)了”，爸爸點(diǎn)了點(diǎn)頭，加大了難度，繼續(xù)考我：“剛才沒(méi)考倒你，那你知道1到30中的偶數(shù)加起來(lái)是多少？”這個(gè)……我馬上想用剛才的計(jì)算方法，2 30＝32，可是一共幾組呀？配好了對(duì)，一組組去數(shù)也太繁瑣了吧？此時(shí)的我，真是一籌莫展，只好向爸爸請(qǐng)教。

爸爸卻賣(mài)起了關(guān)子，“我們先來(lái)想一下高斯的辦法吧，那些數(shù)經(jīng)過(guò)高斯一一配對(duì)，每一對(duì)數(shù)的和其實(shí)就是平均數(shù)的兩倍，我們把這個(gè)和除以2，那是不是表示，有多少個(gè)數(shù)就相當(dāng)于有多少個(gè)平均數(shù)？”

爸爸看我點(diǎn)點(diǎn)頭，繼續(xù)說(shuō)道：“這樣就形成了一個(gè)公式，和＝（首項(xiàng) 未項(xiàng)）÷2×項(xiàng)數(shù)。”

“那這個(gè)項(xiàng)數(shù)怎么知道呀？”我想起剛才我卡住的地方，急忙問(wèn)道。

“這個(gè)項(xiàng)數(shù)呀，表示有多少個(gè)數(shù)，這和他們的公差有關(guān)，高斯那道題，因?yàn)槭亲匀粩?shù)，他們的公差是1，所以沒(méi)體現(xiàn)出來(lái)，但我們現(xiàn)在求的是偶數(shù)之和，他們的公差是2，項(xiàng)數(shù)的重要性就體現(xiàn)出來(lái)了。”

爸爸看我著急的樣子，就在紙上寫(xiě)下一個(gè)公式：項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷公差 1，并解釋說(shuō)：“這個(gè)公式中‘末項(xiàng)—首項(xiàng)’求出的是總差，再除以公差，再加上1就得到了項(xiàng)數(shù)。”

“為什么要加1呀？”

“這就像我們種樹(shù)，每一個(gè)樹(shù)坑就是一個(gè)項(xiàng)，間距就是公差，我們從第一個(gè)坑到最后一個(gè)坑的距離是總長(zhǎng)度，總長(zhǎng)度除以間距得出的是什么呢？對(duì)了，是一共有幾個(gè)間距，我們關(guān)注的是有幾個(gè)坑，種樹(shù)的“坑”的是不是要比“間距”多“1”呀?”

聽(tīng)了爸爸的解答，我馬上列出一個(gè)算式來(lái)：（30－2）÷2 1=15，（2 30）÷2×15=240。是呀，“首項(xiàng) 末項(xiàng)”是平均數(shù)的兩倍，因此要除以2，然后乘以“項(xiàng)數(shù)”就可以得出答案了。

我高興地在紙上寫(xiě)下了這個(gè)公式：和＝（首項(xiàng) 未項(xiàng)）÷2×項(xiàng)數(shù)。咦，這個(gè)公式怎么這么眼熟呢？我開(kāi)始在腦海中搜尋，哦，梯形的面積公式和它很相似呀——梯形的“上底 下底”不就相當(dāng)于“首項(xiàng) 末項(xiàng)”嗎？如果把高看成公式中的項(xiàng)數(shù)，那么“×高÷2”不就是“×項(xiàng)數(shù)÷2”嗎？

其實(shí)，這不是想起數(shù)學(xué)上的“堆木頭”問(wèn)題嗎？要計(jì)算木頭的總數(shù)，以前總是一層層相加，計(jì)算得很累，還容易出錯(cuò)，要求它們的面積是相當(dāng)于求等差數(shù)列的和，公式就可以通用，那么不就可以應(yīng)用起來(lái)了嗎？右圖的鋼管總數(shù)=（第一層 第四層）÷2×層數(shù)=(2 5)÷2×4=14根，我一數(shù)，正確！

我的思考又向前邁了一步：與梯形比較相似的是三角形，如果，我們把三角形看成上底是“0”的一個(gè)梯形，那三角形面積的公式不就成了（0 底）÷2×項(xiàng)數(shù)（高），我茅塞頓開(kāi)：原來(lái)它們都是一個(gè)祖宗生出來(lái)的!

看來(lái)，在數(shù)學(xué)世界中，隱藏著無(wú)數(shù)的奧秘和寶藏，只要我們用心探索，一定會(huì)有意想不到的收獲！

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• 匪夷所思  匪：不是；夷：平常。指言談行動(dòng)離奇古怪，不是一般人根據(jù)常情所能想象的。
• 分我杯羹  羹：肉汁。楚、漢相爭(zhēng)時(shí)，劉邦答項(xiàng)羽的話(huà)。比喻從別人那里分享一分利益。
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• 昂霄聳壑  昂：高；壑：峪。高出霄漢，聳立山壑。形容才能杰出，建樹(shù)宏大功業(yè)。也形容志氣高昂，胸懷廣闊。
• 安分知足  安于本分，對(duì)自己所得到的待遇知道滿(mǎn)足。
• 飛沙走礫  沙：沙土；礫：小石塊。沙土飛揚(yáng)，小石塊滾動(dòng)。形容風(fēng)勢(shì)很猛。
• 誹譽(yù)在俗  誹：指誹謗；譽(yù)：贊揚(yáng)；俗：風(fēng)氣、習(xí)慣。誹謗或贊揚(yáng)在于當(dāng)時(shí)的風(fēng)習(xí)。后來(lái)引申指風(fēng)氣、習(xí)慣的作用非常大。
• 斑駁陸離  斑駁：色彩雜亂；陸離：參差不一。形容色彩紛雜。
• 分毫不爽  比喻沒(méi)有絲毫差錯(cuò)。
• 挨肩擦背  形容人多擁擠。
• 飛黃騰達(dá)  飛黃：傳說(shuō)中神馬名；騰達(dá)：上升，引伸為發(fā)跡，宦途得意。形容駿馬奔騰飛馳。比喻驟然得志，官職升得很快。
• 兵來(lái)將擋，水來(lái)土掩  比喻不管對(duì)方使用什么手段，總有相應(yīng)的對(duì)付方法。
• 博采眾長(zhǎng)  從多方面吸取各家的長(zhǎng)處。
• 飛蛾投火  象蛾子撲火一樣。比喻自找死路、自取滅亡。